Stejnolehlost

Pondělí 5. 10.
5. hodina · 11:50–12:35
Matematika 3.B · malá písemka

Jak se z toho učit

1Začni přehrávačem v části 1. Posouvej κ a táhni bod S, dokud nebudeš umět předpovědět, kam obraz skočí.
2Konstrukce si projdi tlačítkem Další krok. Pak každou narýsuj sám kružítkem na papír, bez koukání.
3Kvízy klikej, u otázek odpověz a označ Umím, nebo Zopakovat. Na konec Kde se chybuje a generálka. Stránka si hodnocení pamatuje.

Co musíš umět

1H(S; κ): bod X′ leží na přímce SX a |SX′| = |κ|·|SX|. Pro κ > 0 na stejné straně od S, pro κ < 0 na opačné. 2Sestrojit obraz bodu pro κ = 2, −12, 32… kružítkem a dělením úsečky. 3Vlastnosti: přímka ∥ obraz, úhly stejné, délky krát |κ|. Samodružný je jen S. κ = 1 je identita, κ = −1 středová souměrnost. 4Obraz mnohoúhelníku vrchol po vrcholu, obraz kružnice k′(O′; |κ|·r). 5Najít střed stejnolehlosti dvou rovnoběžných úseček a dvou kružnic: vnější a vnitřní. 6Sestrojit společné tečny dvou kružnic přes středy stejnolehlosti a Thaletovu kružnici. 7Konstrukční úlohy: vepsaný čtverec, nepřístupný průsečík, kružnice bodem, trojúhelník z poměru. 8Trik všech úloh: nejdřív správný tvar v libovolné velikosti, pak stejnolehlostí na správnou velikost.

1Co je stejnolehlost

Stejnolehlost útvar zvětší nebo zmenší ze středu S. Funguje jako lampa, která vrhá stín: všechno leží na paprscích z jednoho bodu, tvar zůstane, změní se velikost.

Je dán bod S a reálné číslo κ ≠ 0 (řecké písmeno kappa). Stejnolehlost (homotetie) se středem S a koeficientem κ je zobrazení H(S; κ), které přiřazuje:

každému bodu X ≠ S bod X′ tak, že platí |SX′| = |κ|·|SX|. Pro κ > 0 leží X′ na polopřímce SX, pro κ < 0 na polopřímce opačné,
bodu S bod S′ = S.

Zápis: H(S; κ): X → X′. O útvarech U, U′, pro které platí H(S; κ): U → U′, říkáme, že jsou stejnolehlé.

Sstřed stejnolehlosti

κkoeficient stejnolehlosti

podobné zobrazenístejnolehlost mění velikost, ne tvar

Přehrávač

Čtyřúhelník ABCD je vzor, modrý A′B′C′D′ jeho obraz. Posouvej κ, táhni bod S a sleduj, co se děje. Přesně tohle je příklad ze skriptu: čtyřúhelník v H(S; 2).

vzorobrazpaprsky ze středu S

délky

obsah

strana

Znaménko κ říká, na kterou stranu od S. Absolutní hodnota |κ| říká, kolikrát dál.

Kde leží X′?

Klikni na odpověď, hned uvidíš proč.

H(S; 3), |SX| = 2 cm. Jak daleko od S je X′?
H(S; −2). Na které polopřímce leží X′?
H(S; −12), |SX| = 6 cm. Kolik je |SX′|?
X′ leží mezi S a X. Co platí pro κ?
Bod S leží mezi X a X′. Co platí pro κ?
|SX| = 4 cm, |SX′| = 10 cm, X′ leží na polopřímce SX. Kolik je κ?
Co je obrazem středu S?
Může být κ = 0?

2Jak sestrojit obraz bodu

V písemce budeš rýsovat, takže vzdálenost |κ|·|SX| přenášíš kružítkem. Podle κ jsou tři situace:

1Celé číslo, třeba κ = 2: kružnice k(X; |SX|) protne polopřímku SX za bodem X. Pro κ = −1 naneseš |SX| na opačnou polopřímku.
2Polovina, třeba κ = −12: najdi střed M úsečky SX (osa úsečky) a vzdálenost |SM| naneseš kružítkem.
3Libovolný zlomek pq, třeba 32 nebo −23: pomocná polopřímka se stejnými dílky a rovnoběžka.

Příklad ze skriptu: obraz bodu v H(S; −12)

Je dán bod S a bod X ≠ S. Sestrojte obraz bodu X.

Libovolný zlomek: κ = 32

Univerzální postup pro každé κ = pq. Stojí na podobnosti trojúhelníků.

Záporné κ, třeba −23: jmenovatel (3 dílky) naneseš na pomocnou polopřímku, čitatel (2 dílky) na opačnou polopřímku k ní. Rovnoběžka pak protne přímku SX na druhé straně od S.

Dílek jmenovatele spoj s X. Rovnoběžka dílkem čitatele ti dá X′.

Jak to narýsuješ?

Řekni postup nahlas, rozklikni a ohodnoť se.

Obraz bodu X v H(S; 3)

Kružítkem naneseš |SX| za bod X ještě dvakrát, takže |SX′| = 3|SX|.

Obraz bodu X v H(S; −1)

k(S; |SX|) protne opačnou polopřímku. Je to středová souměrnost se středem S.

Obraz bodu X v H(S; 12)

Střed úsečky SX (osa úsečky). To je rovnou X′.

Obraz bodu X v H(S; −23)

Pomocná přímka přes S. Na jednu stranu 3 dílky, na druhou 2 dílky.

Spojíš 3. dílek s X, rovnoběžka 2. dílkem na druhé straně protne přímku SX v X′.

Obraz bodu X v H(S; 34)

4 dílky na pomocnou polopřímku, 4. dílek spojíš s X, rovnoběžka 3. dílkem protne SX v X′ (mezi S a X).

3Vlastnosti stejnolehlosti

Tohle je ve skriptu jako „Ve stejnolehlosti platí“. Jsou to důvody, proč konstrukce fungují, takže je znej zpaměti.

p ∥ p′

Přímka a její obraz jsou rovnoběžné

Pokud přímka prochází středem S, zobrazí se sama na sebe.

AB ∥ A′B′

Úsečka a její obraz jsou rovnoběžné

Proto má obraz trojúhelníku strany rovnoběžné se vzorem.

∢A′V′B′ = ∢AVB

Obrazem úhlu je úhel shodný

Tvar se nemění. Stejnolehlost je podobné zobrazení.

|A′B′| = |κ|·|AB|

Délky se násobí |κ|

Poměr délek obrazu a vzoru je absolutní hodnota koeficientu.

Samodružné body a přímky

Jediný samodružný bod je střed S. Samodružné přímky jsou všechny přímky procházející středem S: přímka se zobrazí sama na sebe, ale její body se po ní posunou. Stejnolehlost je určena středem a koeficientem.

Co se děje pro κ = 1 a κ = −1

κ = 1

Identita

|SX′| = |SX| na stejné polopřímce, takže X′ = X. Každý bod je samodružný.

κ = −1

Středová souměrnost se středem S

|SX′| = |SX| na opačné polopřímce. Je to jediná stejnolehlost (kromě identity), která je shodná.

Inverzní zobrazení

Zobrazení, které obraz vrátí zpátky na vzor, je H(S; 1κ). Když H(S; 2) zdvojnásobí, H(S; 12) zase zmenší na polovinu. Znaménko zůstává.

H(S; κ)⁻¹ = H(S; 1κ)

Navíc: obvod a obsah

Ve skriptu to není, ale vyplývá to z vlastností a hodí se na výpočty. Obvod se násobí |κ| (je to součet délek). Obsah se násobí κ², protože se zvětší oba rozměry.

Stejnolehlost drží směry a úhly. Mění jen velikost, a to |κ|-krát.

Platí, nebo neplatí?

Chytáky, na které se v písemce ptá nejčastěji.

Přímka a její obraz jsou ve stejnolehlosti rovnoběžné.
Stejnolehlost zachovává délky úseček.
Obrazem úhlu 35° je úhel 35°.
H(S; −1) je středová souměrnost se středem S.
Všechny body přímky, která prochází S, jsou samodružné.
Inverzní zobrazení k H(S; 3) je H(S; −3).
Stejnolehlost je shodné zobrazení.
Stejnolehlost je určena svým středem a koeficientem.

Spočítej

Počítej zpaměti, pak klikni.

|AB| = 5 cm, H(S; −3). Kolik je |A′B′|?
|AB| = 6 cm, |A′B′| = 2 cm, A′ leží na polopřímce SA. Kolik je κ?
Jaké je inverzní zobrazení k H(S; −25)?
Trojúhelník má obsah 4 cm². Jaký obsah má jeho obraz v H(S; 3)?
Čtverec má obvod 12 cm. Jaký obvod má jeho obraz v H(S; −12)?
Úhel má 40°. Kolik má jeho obraz v H(S; 2)?

4Obraz útvaru

Mnohoúhelník

Zobrazíš každý vrchol zvlášť a obrazy spojíš. Kontrola: každá strana obrazu musí být rovnoběžná s odpovídající stranou vzoru.

Příklad ze skriptu: čtyřúhelník v H(S; 2)

Je dán bod S a čtyřúhelník ABCD. Sestrojte obraz čtyřúhelníku.

Kružnice

Obrazem kružnice k(O; r) je kružnice. Stačí zobrazit střed a vynásobit poloměr:

k(O; r) → k′(O′; |κ|·r)

Příklad ze skriptu: obraz kružnice k(O; 2 cm)

Je dán bod S a kružnice k. Sestrojte obraz kružnice (a) v H(S; 32), (b) v H(S; −2).

U kružnice zobrazuješ jen střed. Poloměr vynásobíš |κ|, bez znaménka.

Obrazy kružnic

k(O; 2 cm), |SO| = 3 cm.

Jaký poloměr má obraz k v H(S; −2)?
Jak daleko od S je O′ v H(S; 32)?
Kde leží O′ v H(S; −2)?
Obrazem je kružnice s poloměrem 1 cm a středem na polopřímce SO. Jaká to byla stejnolehlost?

5Středy stejnolehlosti

Opačná úloha: útvary jsou dané a hledáš střed, který jeden zobrazí na druhý. Základní myšlenka: vzor, obraz a střed leží na jedné přímce.

Dvě rovnoběžné úsečky

Jsou-li dány dvě rovnoběžné úsečky různé délky, existují právě dva středy stejnolehlosti, které zobrazí jednu úsečku na druhou:

S₁vnější střed, H₁(S₁; κ) s κ > 0. Úsečky jsou na stejné straně od S₁ a A → X, B → Y.
S₂vnitřní střed, H₂(S₂; −κ). Leží mezi úsečkami a A → Y, B → X.

Příklad ze skriptu: středy dvou úseček

Jsou dány úsečky AB, XY, AB ∥ XY. Sestrojte střed stejnolehlosti, která zobrazí jednu úsečku na druhou.

Stejně dlouhé úsečky mají jen vnitřní střed (κ = −1, středová souměrnost). Přímky AX a BY jsou rovnoběžné, takže vnější střed neexistuje. Jedna úsečka se na druhou dostane posunutím.

Dvě kružnice

Dvě kružnice s různými poloměry jsou stejnolehlé vždy, a to podle dvou středů. Oba leží na přímce středů O₁O₂. Najdeš je pomocí rovnoběžných poloměrů:

Příklad ze skriptu: středy dvou kružnic

Jsou dány dvě kružnice k, k′ s různými poloměry. Sestrojte střed stejnolehlosti, která zobrazí k na k′.

Stejné poloměry: jen vnitřní střed, střed úsečky O₁O₂ (κ = −1). Soustředné kružnice: středem stejnolehlosti je jejich společný střed, κ = r₂r₁ i −r₂r₁.

Stejným směrem → vnější střed, κ > 0. Do kříže → vnitřní střed, κ < 0.

Kolik středů a jaké κ?

Odpověz si, pak rozklikni a ohodnoť se.

Rovnoběžné úsečky délky 3 cm a 6 cm. Kolik středů stejnolehlosti a jaké κ (z kratší na delší)?

Dva. Vnější s κ = 2 a vnitřní s κ = −2.

Rovnoběžné úsečky, obě dlouhé 4 cm. Kolik středů?

Jeden, vnitřní (κ = −1). Vnější neexistuje, AX ∥ BY.

Kružnice k₁(O₁; 3 cm), k₂(O₂; 1 cm). Jaké κ mají stejnolehlosti, které zobrazí k₁ na k₂?

Vnější střed κ = 13, vnitřní střed κ = −13.

Dvě kružnice se stejným poloměrem. Kde je střed stejnolehlosti?

Ve středu úsečky O₁O₂, κ = −1. Vnější střed neexistuje.

Proč u kružnic spojuješ konce rovnoběžných poloměrů?

Stejnolehlost zobrazí poloměr na rovnoběžný poloměr. Koncový bod A₁ se zobrazí na A₂, takže S leží na přímce A₁A₂.

6Společné tečny dvou kružnic

Vnější tečny procházejí vnějším středem stejnolehlosti, vnitřní tečny vnitřním. Tečny z bodu ke kružnici sestrojíš pomocí Thaletovy kružnice: body dotyku jsou tam, kde protne kružnici.

Příklad ze skriptu: společné tečny

Sestrojte společné tečny kružnic k₁(O₁; 2 cm), k₂(O₂; 1 cm), |O₁O₂| = 4 cm.

Diskuse: |O₁O₂| = 4 cm > r₁ + r₂ = 3 cm, kružnice leží vně sebe, úloha má 4 řešení (2 vnější a 2 vnitřní tečny).

Kolik tečen mají dvě kružnice

Záleží na vzdálenosti středů d = |O₁O₂|. Vnější tečny zmizí, až je jedna kružnice uvnitř druhé, vnitřní už když se kružnice protnou.

4vně sebed > r₁ + r₂

3vnější dotykd = r₁ + r₂

2protínají ser₁ − r₂ < d < r₁ + r₂

1vnitřní dotykd = r₁ − r₂

0jedna uvnitřd < r₁ − r₂

Vnější tečny jdou vnějším středem, vnitřní vnitřním. Tečny z bodu vždy přes Thaletovu kružnici.

Kolik tečen?

k₁(O₁; 3 cm), k₂(O₂; 1 cm), mění se jen d = |O₁O₂|.

d = 8 cm
d = 4 cm
d = 3 cm
d = 2 cm
d = 1 cm
d = 8 cm. Jak daleko od O₂ je vnější střed S₁?
d = 8 cm. Jak daleko od O₂ je vnitřní střed S₂?

7Konstrukční úlohy

Poslední čtyři příklady ze skriptu. Všechny stojí na stejném triku:

Nejdřív narýsuj útvar se správným tvarem, ale v libovolné velikosti. Stejnolehlostí ho pak zvětši nebo zmenši, aby splnil poslední podmínku.

Konstrukční úloha se zapisuje ve čtyřech částech:

RozborNáčrt hotového řešení. Co je pomocný útvar a kde je střed stejnolehlosti.

PostupOčíslované kroky symbolicky, jako v přehledech níže.

KonstrukceSamotné rýsování, přesně a s popisem bodů.

DiskuseKolik má úloha řešení a proč.

Vepsaný čtverec

Do daného ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL ⊂ AB, M ∈ BC, N ∈ AC.

Rozbor: Každý čtverec se stranou na AB a vrcholem na AC je s hledaným čtvercem stejnolehlý se středem A. Vrchol M₀ pomocného čtverce proto „dojede“ po polopřímce AM₀ až na stranu BC.

Diskuse: v ostroúhlém trojúhelníku má úloha 1 řešení.

Přímka k nepřístupnému průsečíku

Sestrojte přímku, která prochází bodem A a nepřístupným průsečíkem přímek p a q.

Rozbor: Průsečík P je mimo papír. Trojúhelník ABC (B ∈ p, C ∈ q) zobrazíš stejnolehlostí se středem P na A′B′C′ se stranami rovnoběžnými. Vzor a obraz leží se středem na jedné přímce, takže přímka AA′ prochází bodem P.

Diskuse: pokud A neleží na p ani q, má úloha 1 řešení.

Kružnice bodem, dotýká se dvou přímek

Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M (M ∉ a, M ∉ b). Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a, b.

Rozbor: Střed každé kružnice, která se dotýká a i b, leží na ose úhlu o. Všechny takové kružnice jsou stejnolehlé se středem V = a ∩ b. Vezmeš libovolnou z nich a zvětšíš ji, aby prošla bodem M.

Diskuse: pokud M neleží na a ani b, má úloha 2 řešení.

Trojúhelník z poměru stran

Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, v nichž |AC| : |BC| = 5 : 4, γ = 60°, v_c = 5 cm.

Rozbor: Poměr a úhel určí tvar, výška velikost. Narýsuješ podobný trojúhelník A₀B₀C z dílků a stejnolehlostí se středem C ho zvětšíš tak, aby výška měla 5 cm.

Diskuse: úloha má 1 řešení (v rovině ještě jeden souměrně sdružený, shodný trojúhelník).

Stejný trik, jiné zadání

Řekni rozbor: jaký pomocný útvar, jaký střed stejnolehlosti. Pak rozklikni.

Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepiš obdélník KLMN s poměrem |KL| : |LM| = 2 : 1, KL ⊂ AB.

Stejně jako čtverec: pomocný obdélník 2 : 1 se stranou na AB a vrcholem N₀ ∈ AC.

Střed stejnolehlosti A, M = ↦AM₀ ∩ BC.

Do půlkruhu vepiš čtverec, jehož jedna strana leží na průměru.

Pomocný čtverec souměrný podle osy půlkruhu, se stranou na průměru.

Střed stejnolehlosti je střed půlkruhu S. Polopřímka SM₀ protne oblouk ve vrcholu M.

Sestroj trojúhelník ABC: α = 45°, β = 60°, v_c = 4 cm.

Pomocný trojúhelník A₀B₀C s úhly 45° a 60° libovolné velikosti.

H(C; κ): rovnoběžka s A₀B₀ ve vzdálenosti 4 cm od C protne ramena v A a B.

Sestroj trojúhelník ABC: a : b : c = 3 : 4 : 5, v_c = 3 cm.

Pomocný trojúhelník se stranami 3, 4, 5 dílků.

Stejnolehlost se středem C zvětší výšku na 3 cm, stejně jako v příkladu 5 : 4.

Proč u kružnice bodem M vyjdou dvě řešení?

Polopřímka VM protne pomocnou kružnici k₀ ve dvou bodech. Každý dá jinou stejnolehlost, a tedy jinou kružnici.

Jak u nepřístupného průsečíku víš, že AA′ jde bodem P?

A′B′C′ je obraz ABC ve stejnolehlosti se středem P (strany jsou rovnoběžné a B, B′ ∈ p, C, C′ ∈ q). Bod, jeho obraz a střed leží vždy na jedné přímce.

8Kde se chybuje

Nahoře chyták, pod ním správná odpověď. Tyhle věci se nejsnáz spletou.

V H(S; −2) leží X′ na polopřímce SX.

Pro κ < 0 je X′ na opačné polopřímce, S leží mezi X a X′.

|A′B′| = κ·|AB| = −6 cm.

Délka je vždy kladná: |A′B′| = |κ|·|AB|.

Stejnolehlost zachovává délky.

Zachovává úhly a rovnoběžnost. Délky násobí |κ|.

Inverzní k H(S; κ) je H(S; −κ).

Je to H(S; 1κ), převrácená hodnota.

Samodružné jsou všechny body přímky přes S.

Samodružný bod je jen S. Přímka přes S je samodružná jako celek.

Dvě stejně dlouhé rovnoběžné úsečky mají dva středy.

Jen vnitřní, κ = −1. Vnější neexistuje, AX ∥ BY.

Vnější tečny sestrojím z vnitřního středu.

Vnější tečny jdou vnějším středem S₁, vnitřní vnitřním S₂.

Při κ = 3 se obsah ztrojnásobí.

Obsah se násobí κ², tedy 9krát.

U vepsaného čtverce zvolím střed stejnolehlosti libovolně.

Střed je vrchol A, ze kterého vychází strana AB i AC, na nichž leží pomocný čtverec. Jen tak zůstane K₀L₀ ⊂ AB a N₀ ∈ AC.

9Generálka

Odpovídej na papír nebo nahlas, bez koukání nahoru. Konstrukce si zkus narýsovat. Otázky 7–12 jsou přesně příklady ze skriptu.

16 otázek na závěr

Co neumíš, označ Zopakovat. Ráno zapni Jen k zopakování.

Definuj stejnolehlost H(S; κ).

Je dán bod S a číslo κ ≠ 0. Každému bodu X ≠ S přiřadí bod X′ tak, že |SX′| = |κ|·|SX|, pro κ > 0 na polopřímce SX, pro κ < 0 na opačné. Bodu S přiřadí S.

Jmenuj čtyři vlastnosti stejnolehlosti.

Přímka ∥ obraz, úsečka ∥ obraz, obrazem úhlu je úhel shodný, |A′B′| = |κ|·|AB|.

Které body a přímky jsou samodružné?

Bod jen S. Přímky všechny, které procházejí S.

Co je H(S; 1) a H(S; −1)?

Identita a středová souměrnost se středem S.

Jaké je inverzní zobrazení k H(S; κ)?

H(S; 1κ).

Čím je určena stejnolehlost?

Středem a koeficientem.

Popiš konstrukci obrazu bodu X v H(S; −12).

Přímka SX, osa úsečky SX dá střed M, kružnice k(S; |SM|) protne opačnou polopřímku k SX v bodě X′.

Obraz kružnice k(O; 2 cm) v H(S; 32) a v H(S; −2)?

k′(O′; 3 cm) s O′ na polopřímce SO, |SO′| = 32|SO|. k″(O″; 4 cm) s O″ na opačné polopřímce, |SO″| = 2|SO|.

Jak najdeš středy stejnolehlosti dvou rovnoběžných úseček AB, XY?

S₁ = AX ∩ BY (vnější, κ > 0) a S₂ = AY ∩ BX (vnitřní, κ < 0). Stejně dlouhé úsečky mají jen S₂.

Jak najdeš středy stejnolehlosti dvou kružnic?

Rovnoběžné poloměry: stejným směrem → přímka jejich konců protne O₁O₂ ve vnějším středu, opačným směrem → ve vnitřním.

Postup: společné tečny k₁(O₁; 2 cm), k₂(O₂; 1 cm), |O₁O₂| = 4 cm.

Středy S₁, S₂. Thaletova kružnice nad S₁O₂ dá body dotyku vnějších teček, nad S₂O₁ vnitřních. Celkem 4 tečny.

Postup: vepiš čtverec KLMN do ostroúhlého ABC (KL ⊂ AB).

Pomocný čtverec K₀L₀M₀N₀ (N₀ ∈ AC, K₀L₀ ⊂ AB), M = ↦AM₀ ∩ BC, pak N rovnoběžkou s AB, K a L kolmicemi. 1 řešení.

Postup: přímka bodem A a nepřístupným průsečíkem p, q.

Trojúhelník ABC (B ∈ p, C ∈ q), B′ ∈ p, B′C′ ∥ BC, A′ z rovnoběžek s BA a CA. Hledaná přímka je AA′.

Postup: kružnice bodem M, dotýká se různoběžek a, b.

Osa úhlu o, pomocná kružnice k₀ se středem na o dotýkající se a, b, polopřímka VM ji protne v M₀, M₀′. Rovnoběžky s O₀M₀, O₀M₀′ bodem M protnou o ve středech. 2 řešení.

Postup: trojúhelník, |AC| : |BC| = 5 : 4, γ = 60°, v_c = 5 cm.

Úhel 60° ve vrcholu C, |CA₀| = 5 dílků, |CB₀| = 4 dílky. Rovnoběžka s A₀B₀ ve vzdálenosti 5 cm od C protne ramena v A, B.

|AB| = 4 cm, |A′B′| = 6 cm, S leží mezi A a A′. Urči κ a obsah obrazu čtverce o straně AB.

κ = −32. Obsah 16 · 94 = 36 cm².